Дніпродзержинський енергетичний технікум

           Крім звичайної алгебри існує спеціальна, основи якої були закладені англійською математиком XIX століття Дж. Булем. Ця алгебра займається так званим обчисленням висловлювань.

           Її особливістю є можливість застосування для опису роботи так званих дискретних пристроїв, до яких належить цілий клас пристроїв автоматики та обчислювальної техніки.
          При цьому сама алгебра виступає в якості моделі пристрою. Це означає, що робота довільного пристрою зазначеного типу може бути лише в якомусь щодо описана з допомогою побудов цієї алгебри. Дійсне реальний пристрій фізично працює не так, як це описує алгебра логіки. Однак застосування положень цієї теорії дозволяє зробити ряд корисних у практичному відношенні узагальнень.
          Розглянемо деяку схему і представимо її у вигляді так званого "чорного" ящика.

          Будемо вважати, що внутрішній вміст коробки невідомо.
X1, X2, X3 - вхідні сигнали, F - вихідний сигнал.
          Вважаємо, що схема А - елементарна, тобто немає іншої схеми Б, меншою, ніж Та, яка містилася б в А.
          Побудуємо абстрактне пристрій з елементарних пристроїв, типу А, Б, В і т.д. Очевидно, більш складний пристрій можна побудувати з простих шляхом:
1. послідовного з'єднання елементів;
2. паралельного з'єднання;
3. перестановки входів елементів.

     Тоді роль Y1 для другого елемента Б буде грати:

Y1=FА(X1,X2,X3)
Y2=FБ(X1,X2)
F=F(Y1,Y2)=F(FА(X1,X2,X3),FБ(X1,X2))
     Паралельне з'єднання елементів не змінює функції, тому, з погляду логіки, цей тип з'єднання не використовується. Фізично іноді все ж застосовують паралельне з'єднання елементів, але в основному для того, щоб, наприклад, посилити сигнал.
     У зв'язку з цим, паралельне з'єднання елементів у алгебри логіки не розглядається.
     Функція, яку виконує елемент, взагалі кажучи, залежить від змінних, які подаються на вхід.
Тому перестановка аргументів впливає на характер функції.

 
     Таким чином, довільні, як завгодно складні в логічному щодо схеми, можна будувати, використовуючи два прийоми:

1. послідовне з'єднання елементів;
2. перестановка входів елементів.
     Цим двом фізичним прийомам в алгебри логіки відповідають:
1. принцип суперпозиції (підстановка у функцію замість її аргументів інших функцій );
2. підстановка аргументів (зміна порядку запису аргументів функцій або заміна одних аргументів функції іншими).
     Отже, фізична завдання побудови та аналізу роботи складного обладнання замінюється математичної задачею синтезу і аналізу відповідних функцій алгебри логіки.
    Елементарні функції алгебри логіки
Існує кілька синонімів по відношенню до функцій алгебри логіки:
1. функції алгебри логіки (WMV);
2. переключательні функції ;
3. булевскі функції ;
4. виконавчі функції.
     По мірі необхідності будемо користуватися всіма цими синонімами.
Розглянемо деякий набір аргументів:
<X1,X2,X3,...Хі,...Xn>
і будемо вважати, що кожен з аргументів приймає тільки одне з двох можливих значень, незалежно від інших
    Чому одно число різних наборів?
Xi = {0, 1}
    Поставимо кожного набору у відповідність деякий двійкове число:
X1,X2,Xn...........
0, 0,...........,0 нульовою набір
0, 0,...........,1 перший набір
0, 0,..........1,0 другий набір
...................
1, 1,...........,1 (2n-1)-ий набір
    Очевидно, що кількість різних X1,X2,...........Xn n -розрядних чисел у позиційній двійковій системі є 2n.
    Припустимо, що деяка функція F(X1,X2,....Xn) задана на цих наборах і на кожному з них вона приймає або ' 0 '-ое, або ' 1 '-ое значення.
    Таку функцію називають функцією алгебри логіки або рукояткою функцією.
    Чому одно число різних перемикальних функцій ' n ' аргументів?
Оскільки функція на кожному наборі може прийняти значення ' 0 ' або ' 1 ', а всього різних наборів 2n, то загальне число різних функцій ' n ' аргументів є: 22n.
    Порівняно з аналітичної функцією безперервного аргументу навіть для одного аргументу існує безліч різних функцій. можна будувати, використовуючи два прийоми:
1. послідовне з'єднання елементів;
2. перестановка входів елементів.
     Цим двом фізичним прийомам в алгебри логіки відповідають:
1. принцип суперпозиції (підстановка у функцію замість її аргументів інших функцій );
2. підстановка аргументів (зміна порядку запису аргументів функцій або заміна одних аргументів функції іншими).
     Отже, фізична завдання побудови та аналізу роботи складного обладнання замінюється математичної задачею синтезу і аналізу відповідних функцій алгебри логіки.